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Volume 29: Pages 167-178, 2016
Relativistic approach for circular motion and the Sagnac effect
Yang-Ho Choia)
Department of Electrical and Electronic Engineering, Kangwon National University, Chunchon, Kangwon-do 200-701, South Korea
The Sagnac effect could not have been exactly explained through rigorous theoretical derivations under special relativity or general relativity. The conundrum has been solved fully in the relativistic context. To this end, the Lorentz transformation, which makes transformations between the unprimed and the primed coordinates, is reformulated without any postulates except the space-time isotropy of inertial frames. In the reformulation, a complex Euclidean space (CES) is employed which is an extension of the Euclidean space from the real number to the complex number. The time and space axes of each coordinate system in CES are represented as being perpendicular, and the Lorentz transformation has the form of rotation. These characteristics of the formulation pave the way for the relativistic approach to circular motion. In CES, the orientation of the coordinate systems provides important information on angles of rotation that the relativistic approach exploits. The relativistic transformation from the inertial to the rotating frames is formulated such that it has the same form as that from the rotating to the inertial. The difference between the travel times of two light beams traversing a circumference in the Sagnac experiment can be exactly found by the circular approach presented, which shows that the nonrelativistic and relativistic analysis results are the same within a first order approximation. The circular approach can also provide exact coordinate transformations between the inertial and the rotating frames, which enables us to examine the speeds of light on a rotating plate. The primed observation systems, which consist of the world lines of rotating observers, have the same light speeds as the unprimed corresponding ones unless the metric tensor for the light speed constancy is employed.
L'effet de Sagnac ne pouvait être exactement expliqué par des calculs théoriques rigoureux que ceux -ci soient avec la relativité restreinte ou générale. L'énigme a été résolue pleinement dans le contexte relativiste. A ce fin, la transformation de Lorentz, qui fait les transformations entre deux systèmes de coordonnées, est reformulée sans postulats à l'exception de l’isotropie espace-temps des référentiels galiléens. Dans la reformulation, un espace Euclidien complexe (CES) est utilisé qui est un prolongement de l'espace euclidien à partir du nombre réel d'un nombre complexe. Les axes de temps et espace de chaque système de coordonnées dans CES sont représentés comme étant perpendiculaires et la transformation de Lorentz a une forme de rotation. Ces caractéristiques de la formulation ouvrent la voie à l'approche de mouvement circulaire des relativistes. Dans CES, l'orientation des systèmes de coordonnées offre des informations importantes sur les angles de rotation que l'approche relativiste tente exploiter. La transformation relativiste des référentiels galiléens aux référentiels en rotation est formulée de telle sorte qu'elle a la même forme que celle des référentiels en rotation aux référentiels galiléens. La différence entre les temps de parcours de deux faisceaux lumineux traversant une circonférence dans l'expérience de Sagnac peut être exactement trouvée par l'approche circulaire qui a été présenté, ce qui montre que les résultats non relativistes et les résultats relativistes sont les mêmes dans une approximation de premier ordre. L'approche circulaire peut également donner exactement les transformations de coordonnées entre les référentiels galiléens et les référentiels en rotation, ce qui nous permet d'examiner les vitesses de la lumière sur un plateau tournant. Les systèmes d'observation préparés, qui consistent en des lignes d’univers d’observateurs en rotation, ont les mêmes vitesses de lumière que ceux non préparés auxquelles ils correspondent, à moins que le tenseur métrique pour la constance de la vitesse de la lumière soit utilisé.
Key words: Circular Motion; Relativistic Rotation; Sagnac Effect; Coordinate Transformation; Complex Space; Metric Tensors.
Received: May 1, 2015; Accepted: February 24, 2016; Published Online: March 17, 2016
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