12. Michael H. Brill, De Broglie Waves Meet Schrödinger’s Equation

$25.00 each

Volume 26: Pages 574-576, 2013

De Broglie Waves Meet Schrödinger’s Equation

Michael H. Brilla)

Datacolor, 5 Princess Rd., Lawrenceville, New Jersey 08648, USA

For a quantum-mechanical free particle, de Broglie’s hypothesis relates group velocity vg to phase velocity vp via vg vp = c2. However, the relation has not yet been grounded in the usual definition vg = dω/dk. This article provides the missing dispersion relation to evaluate dω/dk. Direct solution of Schrödinger’s equation in one dimension yields the dispersion relation ω = (ħ/2m) k2, from which follows the relation vg = 2vp. Further implications of the dispersion relation are explored. Because the free-particle Schrödinger equation is a heat equation with an imaginary heat constant, its Green’s function is a linear chirp that fills all space starting the instant after a delta-function initial condition. Particle localization is possible only when the Green’s function is spatially convolved (at a time t) with a substantially band-limited initial wave function. The faster expansion of a wavefunction when it is initially narrow could be a realization of the uncertainty principle. All of this Schrödinger- equation analysis, however, makes a disconcerting break with relativistic quantum mechanics. Free-particle solution of the Klein-Gordon equation vindicates vg vp = c2 . The non-relativistic non-correspondence of Schrödinger and Klein-Gordon, or more simply of vg = 2vp with vg vp = c2, leads us to ask which can be trusted in the nonrelativistic velocity limit.

Pour une particule libre de la mécanique quantique, l’hypothèse de de Broglie relie la vitesse de groupe vg à la vitesse de phase vp via l’équation vg vp = c2. Toutefois, le rapport n'a pas encore été basé dans la définition habituelle vg = dω/dk. Cet article fournit la relation de dispersion manquant pour évaluer dω/dk. La solution directe de l'équation de Schrödinger à une dimension donne la relation de dispersion ω = (ħ/2m) k2, de qui suit la relation vg = 2vp. D'autres implications de la relation de dispersion sont explorées. Comme l'équation de Schrödinger de la particule libre est une équation de la chaleur avec une constante imaginaire de chaleur, la fonction de Green est un “chirp” linéaire qui remplit tout l'espace en commençant à l’ instant après l’état initial de la fonction delta. La localisation des particules n'est possible que lorsque la fonction de Green est spatialement convoluée (à un instant t) avec une fonction d'onde initiale à bande considérablement limitée. L'expansion rapide de la fonction d'onde quand elle est d'abord étroite pourrait être une réalisation du principe d'incertitude. Toute cette analyse de l’équation de Schrödinger, cependant, fait une rupture déconcertante avec la mécanique quantique relativiste. La solution de l'équation de Klein-Gordon pour une particule libre revendique vg vp = c2. La non-correspondance non-relativiste de Schrödinger et de Klein-Gordon, ou plus simplement de vg = 2vp avec vg vp = c2, nous amène à poser la question qui est plus à la limite de vitesse non relativiste.

Key Words: Quantum mechanics, free particle, Schrödinger equation, phase velocity, group velocity, Green’s function.

Received: May 11, 2013; Accepted: September 26, 2013; Published Online: December 30, 2013

a)This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.