# 2. Huai-Yu Wang, Liouville equation in statistical ....

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Volume 36: Pages 13-21, 2023

Liouville equation in statistical mechanics is not applicable to gases composed of colliding molecules

Huai-Yu Wanga)

Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China

Liouville equation is a fundamental one in statistical mechanics. It is rooted in ensemble theory. By ensemble theory, the variation of the system’s microscopic state is indicated by the moving of the phase point, and the moving trajectory is believed continuous. Thus, the ensemble density is thought to be a smooth function, and it observes continuity equation. When the Hamiltonian canonical equations of the molecules are applied to the continuity equation, Liouville equation can be obtained. We carefully analyze a gas composed of a great number of molecules colliding with each other. The defects in deriving Liouville equation are found. Due to collision, molecules’ momenta changes discontinuously, so that the trajectories of the phase points are actually not continuous. In statistical mechanics, infinitesimals in physics and in mathematics should be distinguished. In continuity equation that the ensemble density satisfies, the derivatives with respect to space and time should be physical infinitesimals, while in Hamiltonian canonical equations that every molecule follows, the derivatives take infinitesimals in mathematics. In the course of deriving Liouville equation, the infinitesimals in physics are unknowingly replaced by those in mathematics. The conclusion is that Liouville equation is not applicable to gases.

L'équation de Liouville est fondamentale en mécanique statistique. Elle est ancrée dans la théorie des ensembles. Selon la théorie des ensembles, la variation de l'état microscopique du système est indiquée par le déplacement du point de phase, et la trajectoire de déplacement est considérée comme continue. Ainsi, la densité d'ensemble est considérée comme une fonction lisse, et elle observe l'équation de continuité. Lorsque les équations canoniques hamiltoniennes des molécules sont appliquées à l'équation de continuité, l'équation de Liouville peut être obtenue. Nous analysons avec soin un gaz composé d'un grand nombre de molécules entrant en collision les unes avec les autres. Les défauts de dérivation de l'équation de Liouville sont trouvés. En raison de la collision, la quantité de mouvement des molécules change de manière discontinue, de sorte que les trajectoires des points de phase ne sont en fait pas continues. En mécanique statistique, il faut distinguer les infinitésimaux en physique et en mathématiques. Dans l'équation de continuité que satisfait la densité d'ensemble, les dérivées par rapport à l'espace et au temps devraient être des infinitésimales physiques, tandis que dans les équations canoniques hamiltoniennes que chaque molécule suit, les dérivées prennent des infinitésimales en mathématiques. Au cours de la dérivation de l'équation de Liouville, les infinitésimaux en physique sont remplacés sans le savoir par ceux en mathématiques. La conclusion est que l'équation de Liouville n'est pas applicable aux gaz.

Key words: Liouville Equation; Phase Point; Ensemble density; Continuity Equation; Discontinuity of Phase Trajectories; Mathematical Infinitesimal; Physical Infinitesimal.

Received: August 31, 2022; Accepted: November 25, 2022; Published Online: December 20, 2022

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